Consejos para la resolución de problemas

En matemáticas, el desarrollo de los problemas es una actividad que hay que ensayar una y otra vez. Para poder realizar un problema a veces no hace falta tener conocimientos de ninguna fórmula matemática, tan solo hay que pensar un poco.

En algunos problemas, a veces no queda claro qué se pregunta. Cuando vamos a realizarlo no sabemos desde un principio cómo lo vamos a hacer. Para solucionarlo hay que pensar, relacionar... No se puede saber cuánto tiempo se necesita para acabarlo.

Unos consejos que pueden ser útiles y que seguro que os los han comentado un montón de veces son estos:

• Ten confianza en tus habilidades. Como comenté antes, muchas veces no se necesita saber mucho, sino reflexionar sobre lo que te dicen y plantearlo bien. ¡No te estreses en cuanto veas uno!
• Ten paciencia. Si lo lees una vez y no lo comprendes, no sabes por donde te da el aire, no te pongas nervioso, ten paciencia y vuélvelo a leer tantas veces como necesites. Para algunos problemas necesitarás horas. Yo suelo recomendar que se lea frase por frase y los datos que vayan apareciendo ir anotándolos.
• Hay que estar concentrado. Es importante estar en un entorno que te permita concentrarte para poder entender el problema. Esto es muy importante para nuestra comprensión lectora.
• Llega hasta el final. Haz el problema como crees que debes hacerlo, usando un razonamiento lógico. Si está mal no importa, haz el planteamiento que tu crees y desarrollalo. Si lo has hecho mal no te frustres, verás como acabas haciéndolos bien y sentirás cierta gratificación y satisfacción personal.
• El tiempo que inviertes en un problema no es en vano. Aunque tengas la sensación de que no sirve para nada, el tiempo que dedicas a plantear y solucionar un problema es muy importante para los problemas que hagas en un futuro, ya que si consigues hacerlo bien (no importa si es con ayuda) el método que has usado te servirá para otros problemas.
• Es importante repetir los problemas que te han costado hacer pero que has conseguido solucionar. Si los haces al cabo de un tiempo tu mente irá más rápido, y no porque recuerde cómo lo hiciste anteriormente, sino porque has entrenado.

Resumiendo, es importante entrenar, practicar la resolución de problemas, igual que se entrena a fútbol para mejorar día a día. Realizar un problema no es porque seas más o menos listo, es porque has trabajado, has entrenado para poder tener mejores capacidades.

Pasos:

1. Entender el problema: Lee el problema atentamente y piensa en lo que te dicen. Releelo cuantas veces necesites. Tienes que entender qué datos te dan, cuales son las condiciones y qué te piden.
2. Realiza una estrategia para su resolución: Hay muchas formas de plantear un problema, cuantas más estrategias conozcas para desarrollar los problemas mejor. No tienes que usar una estrategia determinada, sino el método que a ti te venga mejor
3. Piensa el plan y desarrollalo: Una vez has elegido la estrategia, desarrollala, si te quedas trabado ve al paso anterior y busca otro método.
4. Reflexiona sobre el resultado obtenido: Es muy importante que una vez hayas resuelto el problema verifiques si esa solución es posible. O si es lo que te piden en el problema. Deberías repasar todo el problema para ver si has fallado en algo, repasar las dificultades que has tenido.
5. Escribe el resultado: Escribe cómo has solucionado el problema de una forma clara y limpia, para que otros puedan entender lo que has hecho. Da el resultado teniendo en cuenta el enunciado. Si no has sido capaz de obtener una solución, haz lo mismo, escribe lo que has hecho, todos los intentos y métodos que has usado de una forma clara y ordenada y escribe por qué crees que no has conseguido la solución.

Algunas estrategias:

• Esquemas: Haz algún tipo de esquema con los datos, te ayudará a tener todo resumido de una forma que te interese desde el punto de vista matemático.
• Dibujos: Es importante realizar dibujos sobre todo si el problema es de geometría. Así podrás apuntar los datos en el dibujo.
• Diagramas: Otra forma de plantear un problema es realizando diagramas con los datos ofrecidos.
• Lenguaje: Es importante usar el lenguaje matemático adecuado, eso puede simplificar mucho los problemas.

Racionalización de radicales

Cuando nos encontramos con unas fracciones que tienen raíces o radicales en el denominador, lo primero que vamos a hacer es quitar del denominador cualquier radical, obteniendo una fracción equivalente.

Nos podemos encontrar varios casos distintos en los que aparece una raíz en el denominador.

• Cuando solo existe una raíz con un elemento que la multiplique: $\frac{a}{b\cdot \sqrt[n]{c}}$ tenemos que multiplicar toda la fracción por la raíz que tenemos en el denominador a la potencia $n-1$: $\frac{a}{b\cdot \sqrt[n]{c}}\cdot\frac{\left (\sqrt[n]{c}\right )^{n-1}}{\left (\sqrt[n]{c}\right )^{n-1}}$
• Ejemplo: $\frac{3}{5\sqrt{3}}=\frac{3}{5\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{5\sqrt{3^2}}=\frac{3\sqrt{3}}{5\cdot 3}=\frac{\sqrt{3}}{5}$
• Si el denominador contiene dos términos en el que al menos uno es un radical: $\frac{a}{b+x\sqrt{c}}$ o $\frac{a}{b-x\sqrt{c}}$ o $\frac{a}{x\sqrt{b}+y\sqrt{c}}$ siendo $x$ e $y$ cualquier número que multiplica la raíz. En este caso lo que hacemos es multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. *El conjugado significa que se multiplica por lo mismo pero con el símbolo contrario. $\frac{a}{x\sqrt{b}+y\sqrt{c}}= \frac{a}{x\sqrt{b}+y\sqrt{c}}\cdot \frac{x\sqrt{b}-y\sqrt{c}}{x\sqrt{b}-y\sqrt{c}}$
• Ejemplo:$\frac{7}{2\sqrt{3}+6\sqrt{2}}=\frac{7}{2\sqrt{3}+6\sqrt{2}}\cdot \frac{2\sqrt{3}-6\sqrt{2}}{2\sqrt{3}-6\sqrt{2}}=\frac{14\sqrt{3}-42\sqrt{2}}{\left ( 2\sqrt{3} \right )^2-\left ( 6\sqrt{2} \right )^2}=\frac{14\sqrt{3}-42\sqrt{2}}{4\cdot 3-36\cdot 2}=\frac{14\sqrt{3}-42\sqrt{2}}{12-72}=$
$\frac{14\sqrt{3}-42\sqrt{2}}{-60}=\frac{7\sqrt{3}-21\sqrt{2}}{-30}$

Nota: Un fallo común que soléis tener es que cuando tenéis una expresión como $\left ( a\sqrt{b} \right )^2$se os olvida hacer $a^2$ también. El resultado sería $a^2·b$.

En estos ejercicios os soléis confundir mucho porque no aplicáis las fórmulas de las identidades notables y tenéis que hacerlo. Para recordar cómo son podéis pinchar aquí.

Potencias

Realiza las siguientes operaciones:

$3^0=$
$0^3=$
$\left (-2  \right )^3=$
$5^2=$
$6^3=$
$1^2=$
$\left (-4  \right )^2=$
$7^1=$
$\left (-1  \right )^5=$
$3^2\cdot3^3=$
$\frac{2^7}{2^3}=$

Realiza las siguientes operaciones dejando tan solo una potencia:

$3^{12}\cdot 3^9=$
$4^{-1}\cdot 4^{-5}$
$5^2\cdot 5^3=$
$2^3\cdot 2^{14}\cdot 2^{21}=$
$\frac{3^4}{3^7}=$
$\frac{5^6}{5^1}=$
$\frac{6^2}{6^{-3}}=$
$\frac{7^2}{7^5}\div 7^4$
$\frac{5^2}{5^3}\cdot 5^1$

Potencias

La potencia es una operación matemática que resulta de multiplicar una cantidad por sí misma varias veces. La expesión viene dada como $a^n$ donde a es el elemento que se multiplica por sí mismo n veces. A a se le llama base y a la n se le denomina exponente. Por ejemplo: $3^5= 3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3$ En este caso el número base es 3 y su exponente 5, por tanto el tres se multiplica por sí mismo 5 veces. 

La forma de leer la expresión sería a elevado a la n, en el ejemplo anterior sería 3 elevado a la 5.

$a^1=a$
$a^2=a\cdot a$
$a^3=a\cdot a\cdot a$
....
$a^n=a\cdot a\cdot ...\cdot a$

Propiedades

• Exponente 0: $a^0=1$ 
• Ejemplo: $2^0=1$
• Exponente 1: $a^1=a$ 
• Ejemplo: $2^1=2$
• Multiplicación de potencias con la misma base: $a^n\cdot a^m=a^{n+m}$ 
• Ejemplo: $2^2\cdot 2^3=2^{2+3}=2^5=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=32$
• División de potencias con la misma base: $\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$ 
• Ejemplo: $\frac{2^4}{2^2}=2^{4-2}=2^2=2\cdot 2= 4$
• Potencia de una potencia: $(a^n)^m=a^{n\cdot m}$ 
• Ejemplo:$(2^2)^3=2^{2\cdot 3}=2^6=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=64$
• Potencias de productos con el mismo exponente: $a^n\cdot b^n = (a\cdot b)^n$ 
• Ejemplo: $2^3\cdot 5^3 = (2\cdot 5)^3=10^3=1000$
• Potencias de cocientes con el mismo exponente: $\frac{a^n}{b^n} = \left (\frac{a}{b}\right )^{n}$ 
• Ejemplo: $\frac{5^3}{2^3} = \left (\frac{5}{2}\right )^{3}$
• Potencias de números negativos: 
• Si n es par: $(-a)^n=a^n$
• Ejemplo: $(-2)^3=2^3=8$
• Si n es impar: $(-a)^n=-(a)^n$
• Ejemplo: $(-2)^3=-(2^3)=-8$
• Potencias con exponentes negativos: $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$
• Ejemplo: $2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$

Podéis descargaros esta teoría en formato pdf haciendo click aquí

Identidades notables

Desarrolla las siguientes operaciones o factoriza según corresponda:

1. $(x+5)^2$
2. $(2x-5)^2$
3. $(3x-2)^2$
4. $(x^2-\frac{1}{2}\cdot x)^2$
5. $(3x-2)·(3x+2)$
6. $(x+5)·(x-5)$
7. $(3x-5)·(3x+5)$
8. $x^{2}-4$
9. $x^{4}-16$
10. $x^{2}+6x+9$
11. $9x^{4}-4x^2$
12. $25x^{2}-1$
13. $36x^{6}-49$
14. $x^{2}-2x+1$
15. $x^{2}-6x+9$
16. $x^{2}-20x+100$
17. $x^{2}+10x+25$
18. $x^{2}+14x+49$
19. $x^{2}-1$
20. $x^{2}+4x+4$
21. $(x+\frac{1}{x-1})·(x-\frac{1}{x-1}$
22. $1-x^4$
23. $4x^{2}-1$
24. $(3-x)^2$
25. $(x-3)^2$
26. $(6x+2)^2$
27. $(7x-1)^2$
28. $(5x-\frac{x}{2})^2$
29. $(3x-7)^2$
30. $(\frac{x}{3}+\frac{1}{2})^2$
31. $(x-4)^2$
32. $(\frac{-1}{2}+x)^2$
33. $(3x+\frac{1}{3})·(3x-\frac{1}{3})$
34. $x^{2}-4x^2$
35. $(2x-\frac{1}{2})·(2x-\frac{1}{2})$
36. $x^{2}-25$
37. $(2x+x)·(2x-x)$
38. $-64+4x^2$
39. $(3x-8)^2$
40. $(-x+5)^2$
41. $(x^{2}-4)·(x^{2}+4)$
42. $9x^{2}-12x+4$
43. $100x^{2}-81x^{4}$

Puedes descargar los ejercicios en formato pdf aquí.

Puedes encontrar la teoría sobre las identidades notables aquí.

Identidades notables

Estas fórmulas seguro que las estudiáis en 2º de E.S.O. pero es muy importante no olvidarlas ya que hasta bachillerato vamos a seguir aplicándolas.

Cuadrado de una suma:

$\left ( a+b \right )^{2}=a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}$

Ejemplo: $\left ( x+1 \right )^{2}=x^{2}+2\cdot x\cdot 1+1^{^{2}}\Rightarrow x^{2}+2x+1$

Cuadrado de una resta:

$\left ( a-b \right )^{2}=a^{2}-2\cdot a\cdot b+b^{2}$

Ejemplo: $\left ( x-1 \right )^{2}=x^{2}-2\cdot x\cdot 1+1^{^{2}}\Rightarrow x^{2}-2x+1$

Diferencia de cuadrados:

$\left (a+b  \right )\cdot \left ( a-b \right )=a^{2}-b^{2}$
Ejemplo: $\left (x+1  \right )\cdot \left ( x-1 \right )=x^{2}-1^{2}\Rightarrow x^{2}-1$

Nota: En estas fórmulas a y b son los números o la x siempre en valor positivo, pondremos el signo - donde corresponda con la fórmula y no multiplicaremos el $(-2)$ con $(-a)$ o $(-b)$.

Puedes encontrar ejercicios para practicar aquí.

Ecuaciones Irracionales

Las ecuaciones irracionales o ecuaciones con radicales son aquellas donde la incógnita se encuentra dentro de una o varias raices cuadradas.

Ecuaciones irracionales con una raíz cuadrada:

Cuando nos encontramos una ecuación con solo una raíz cuadrada como aquí: $2\sqrt{x}+5=7$ los pasos a seguir son los siguientes:

1. Dejar a un lado la raíz cuadrada, aislarla (los números que multiplican o dividen la raíz no es necesario pasarlos aunque puede interesar pasarlos): $2\sqrt{x}=7-5$
2. Simplificamos si podemos, en este caso sí: $2\sqrt{x}=2$
3. Elevamos todo al cuadrado: $\left (  2\sqrt{x}\right )^2=\left ( 2 \right )^2$
4. Resolvemos la ecuación, dándonos cuenta que al elevar a la dos ambas partes, la raíz cuadrada se elimina quedando así la ecuación: $2x=2$ Por tanto, $x=\frac{2}{2}\Rightarrow 1$ Obtenemos que $x=1$
5. Realizar la comprobación reemplazando el resultado para ver si hemos hecho bien la ecuación: $2\sqrt{1}+5=7 \Rightarrow 2·1+5=7 \Rightarrow 2+5=7 \Rightarrow 7=7$

Ecuaciones irracionales con dos raíces cuadradas o más:

En una ecuación nos podemos encontrar dos raíces cuadradas o más, los pasos a seguir son los mismos que cuando tan solo tenemos una, solo que hay que repetir los pasos hasta quedarnos sin raíces. Por ejemplo: $\sqrt{2x-1}+\sqrt{x+4}=6$

1. Dejamos a un lado una de las raíces cuadradas quedando así: $\sqrt{2x-1}=6-\sqrt{x+4}$
2. Simplificamos si podemos, en este caso no se puede.
3. Elevamos todo al cuadrado:$\left ( \sqrt{2x-1}\right )^2=\left ( 6-\sqrt{x+4}\right )^2$
4. Realizamos la operación quedando así: $2x-1=36-12\sqrt{x+4}+x+4$
5. Dejamos la raíz cuadrada sola a un lado: $12\sqrt{x+4}=-2x+1+36+x+4$
6. Simplificamos lo que podamos: $12\sqrt{x+4}=-x+41$
7. Volvemos a elevar todo al cuadrado $\left ( 12\sqrt{x+4}\right )^2=\left ( -x+41\right )^2$
8. Desarrollamos la ecuación hasta conseguir los resultados: $144\left ( x+4\right )=x^{2}-82x+1681 \Rightarrow 144x+576=x^{2}-82x+1681$

Obtenemos una ecuación de segundo grado que tenemos que desarrollar mediante la fórmula bicuadrática:

$-x^{2}+226x-1105=0 $

$x=\frac{-226\pm \sqrt{\left ( -226 \right )^{2}-4\cdot \left ( -1 \right )\cdot \left ( -1105 \right )}}{2\cdot \left ( -1 \right )}\Rightarrow \frac{-226\pm \sqrt{51076-4420}}{-2}\Rightarrow \frac{-226\pm \sqrt{46656}}{-2}\Rightarrow \frac{-226\pm 216}{-2}$

Obtenemos que $x=5$ y $x=221$

El último paso sería comprobar si los resultados son correctos, es muy importante hacerlo ya que al elevarlo a dos es posible que no uno de los resultados sea erróneo.

• $x=5$

$\sqrt{2·5-1}+\sqrt{5+4}=6$

$\sqrt{9}+\sqrt{9}=6$

$3+3=6$

$6=6$

  Es correcto

• $x=221$

$\sqrt{2·221-1}+\sqrt{221+4}=6$

$\sqrt{441}+\sqrt{225}=6$

$21+15=6$

$36\neq 6$

Este valor no es válido.

Por tanto la solución de $\sqrt{2x-1}+\sqrt{x+4}=6$ es únicamente $x=5$

Cuando os aparezcan más raíces los pasos a seguir son los mismos. 

Nota:

1. En este tipo de ejercicios tenéis que tener en mente las fórmulas de las igualdades notables.
2. No os olvidéis de elevarlo todo a la dos, incluido lo que esté multiplicando a la raíz, que muchos os olvidáis.

Podéis encontrar ejercicios para hacer pulsando aquí.