Ecuaciones irracionales con una raíz cuadrada:
Cuando nos encontramos una ecuación con solo una raíz cuadrada como aquí: $2\sqrt{x}+5=7$ los pasos a seguir son los siguientes:
- Dejar a un lado la raíz cuadrada, aislarla (los números que multiplican o dividen la raíz no es necesario pasarlos aunque puede interesar pasarlos): $2\sqrt{x}=7-5$
- Simplificamos si podemos, en este caso sí: $2\sqrt{x}=2$
- Elevamos todo al cuadrado: $\left ( 2\sqrt{x}\right )^2=\left ( 2 \right )^2$
- Resolvemos la ecuación, dándonos cuenta que al elevar a la dos ambas partes, la raíz cuadrada se elimina quedando así la ecuación: $2x=2$ Por tanto, $x=\frac{2}{2}\Rightarrow 1$ Obtenemos que $x=1$
- Realizar la comprobación reemplazando el resultado para ver si hemos hecho bien la ecuación: $2\sqrt{1}+5=7 \Rightarrow 2·1+5=7 \Rightarrow 2+5=7 \Rightarrow 7=7$
Ecuaciones irracionales con dos raíces cuadradas o más:
En una ecuación nos podemos encontrar dos raíces cuadradas o más, los pasos a seguir son los mismos que cuando tan solo tenemos una, solo que hay que repetir los pasos hasta quedarnos sin raíces. Por ejemplo: $\sqrt{2x-1}+\sqrt{x+4}=6$
- Dejamos a un lado una de las raíces cuadradas quedando así: $\sqrt{2x-1}=6-\sqrt{x+4}$
- Simplificamos si podemos, en este caso no se puede.
- Elevamos todo al cuadrado:$\left ( \sqrt{2x-1}\right )^2=\left ( 6-\sqrt{x+4}\right )^2$
- Realizamos la operación quedando así: $2x-1=36-12\sqrt{x+4}+x+4$
- Dejamos la raíz cuadrada sola a un lado: $12\sqrt{x+4}=-2x+1+36+x+4$
- Simplificamos lo que podamos: $12\sqrt{x+4}=-x+41$
- Volvemos a elevar todo al cuadrado $\left ( 12\sqrt{x+4}\right )^2=\left ( -x+41\right )^2$
- Desarrollamos la ecuación hasta conseguir los resultados: $144\left ( x+4\right )=x^{2}-82x+1681 \Rightarrow 144x+576=x^{2}-82x+1681$
Obtenemos una ecuación de segundo grado que tenemos que desarrollar mediante la fórmula bicuadrática:
$-x^{2}+226x-1105=0 $
$x=\frac{-226\pm \sqrt{\left ( -226 \right )^{2}-4\cdot \left ( -1 \right )\cdot \left ( -1105 \right )}}{2\cdot \left ( -1 \right )}\Rightarrow \frac{-226\pm \sqrt{51076-4420}}{-2}\Rightarrow \frac{-226\pm \sqrt{46656}}{-2}\Rightarrow \frac{-226\pm 216}{-2}$
Obtenemos que $x=5$ y $x=221$
El último paso sería comprobar si los resultados son correctos, es muy importante hacerlo ya que al elevarlo a dos es posible que no uno de los resultados sea erróneo.
- $x=5$
$\sqrt{2·5-1}+\sqrt{5+4}=6$
$\sqrt{9}+\sqrt{9}=6$
$3+3=6$
$6=6$
Es correcto
- $x=221$
$\sqrt{2·221-1}+\sqrt{221+4}=6$
$\sqrt{441}+\sqrt{225}=6$
$21+15=6$
$36\neq 6$
Este valor no es válido.
Por tanto la solución de $\sqrt{2x-1}+\sqrt{x+4}=6$ es únicamente $x=5$
Cuando os aparezcan más raíces los pasos a seguir son los mismos.
Nota:
- En este tipo de ejercicios tenéis que tener en mente las fórmulas de las igualdades notables.
- No os olvidéis de elevarlo todo a la dos, incluido lo que esté multiplicando a la raíz, que muchos os olvidáis.
Podéis encontrar ejercicios para hacer pulsando aquí.
